Prático N°1
FUNCION CUADRATICA
CORRIMIENTOS Y FORMA CANONICA
En los siguientes ítems se propone comparar una función cuadrática con la más sencillas de todas ellas, que es y=x2.
Ya vimos que cuando la variable cuadrática está acompañada por un números (coeficiente), es decir, y = a.x2 si ese número es mayor que cero, es decir, es positivo, las ramas de la curva abren hacia arriba. Por el contrario si ese número es menor que cero, es decir, es negativo, las ramas abren hacia abajo. En todos los casos el vértice de la gráfica es el punto (0,0).
Ahora observemos el grafico dela función cuadrática de la forma y = ( x-2)2.La curva se “corre” dos lugares hacia la derecha.
Si fuera y = (x+2)2, ¿hacia dónde y cuántos lugares se “correría?. Dibújala para verificar. ¿Cuál es el vértice en ambas graficas? Dar sus coordenadas.
Por lo tanto responde:
1- ¿A cuál de las formulas podría corresponder el siguiente grafico? Justifica tu elección.
y = x2 + 10 y = ( x + 10)2 y = x2 – 10
y = ( x – 10)2
En una función cuadrática y = ax2 + bx + c el vértice es el punto V=(p,q), entonces la función puede escribirse como y = a ( x-p )2 + q. ESTA FORMA DE ESCRIBIR LA CUADRATICA SE LLAMA FORMA CANONICA DE LA FUNCION.
2- Entonces, ¿Cómo sería el vértice de la parábola y = ( x – 2 )2 + 1? ¿Y si fuese
y = (x – 2 )2 +2? ¿Y si fuera y = (x-2)2 + 3?
Para lograr una tabla de valores que sean realmente efectivos para lograr el grafico dela función cuadrática en forma canónica, se deben tomar valores alrededor de la coordenada x del vértice. Es decir se podría tomar dos valores a la izquierda de la coordenada x y dos valores a la derecha de la coordenada x, incluida x.
3- Ahora realiza el gráfico dela siguiente parábola: y = (x-2)2 +1. También grafica
y = (x – 2 )2+2 ; y = (x-2)2 + 3.
4- ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola que queda determinada al graficar la función y = (x-4)2 + 6? ¿Y si fuese y = (x + 4)2 +6?
5- ¿Cuál de estas fórmulas podría corresponder al grafico que se presenta a continuación? ¿Cómo se dan cuenta?
Y = ( x + 9 )2 + 8
Y = ( x - 9 )2 + 8
Y = ( x - 8 )2 + 9
Y = ( x + 8 )2 +9
Y = ( x - 8 )2 -9
Y = ( x - 9 )2 – 8
6- Decidí cuál de los gráficos corresponde a cada ecuación cuadrática.
a) y = x2 + 1 b) y= - x2 + 1 c) y = x2 – 1
7- El siguiente grafico corresponde a la función y = (x – 1)2.
a) Grafica las siguientes funciones y = 2 . (x – 1)2
y = -2 . (x – 1)2.
Analiza diferencias y semejanzas.
b) ¿Sera cierto que el grafico de la función y = 2. (x – 1)2 + 8 es igual al de y = 2 . (x – 1)2 pero desplazado 8 unidades hacia arriba? ¿Cómo te das cuenta?
c) ¿Cuál de los gráficos que se muestran podría corresponder a la función
y = - 2. (x – 1)2 + 8? ¿Cómo pueden darse cuenta sin graficar?
FUNCION CUADRATICA COMPLETA
Representación de la función cuadrática dada por la fórmula completa y = a.x 2 + bx + c donde a, b y c son números reales. Para realizar el grafico de esta función utilizaremos un método basado en determinar puntos notables de la gráfica de y.
· Vértice de la parábola. Lo identificaremos con coordenadas xv e yv, es decir
V = (xv , yv)
xv = yv = se calcula evaluando la función en la coordenada xv
· Raíces de la parábola. Son los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Vale decir y = 0. Es decir se debe igualar a 0 la función, a saber a.x 2 + bx + c = 0.
Eso equivale a resolver dicha ecuación utilizando la formula resolvente para una ecuación de segundo grado completa. Recordemos dicha fórmula:
X1,2 =
· Eje de simetría: es la recta que tiene por ecuación: x = xv
· Ordenada al origen: es el punto de intersección (corte) de la gráfica con el eje y, vale decir que es y(0) = c
· Ejemplo: Graficar y = x2 + 2x – 3 a = 1 b = 2 c = -3
Vértice: xv = = -1 yv = (-1)2 + 2 . (-1) – 3 = -4
Raíces:
X1= 1 X2 = -3
Eje de simetría: x = -1
Ordenada al orígen: 02 + 2 . 0 – 3 = -3
Ahora la grafica:
Raíces de la función cuadrática
Cuando se grafica una función cuadrática, puede ocurrir que la parábola tenga contacto con el eje x en dos puntos, en un solo punto o bien no tenga contacto. Se les llama raíces de la función o ceros de la función.
Para ello se analiza la expresión b2 – 4.a.c que se denomina discriminante. Puede pasar:
b2 – 4.a.c > 0, la función tiene dos raíces reales ( la gráfica corta al eje x en dos puntos)
b2 – 4.a.c = 0, la función tiene una única raíz real ( la gráfica corta en un sólo punto)
b2 – 4.a.c < 0, la función no tiene solución real ( la gráfica no corta al eje x)
8- Grafiquen las siguientes funciones cuadráticas, luego comprueba tu producción con el
GEOGEBRA, guardar como (Func.Cuad. N.A.Curso División ) y enviar para su corrección:
a) y = x2 – 5x + 6 b) y = - x2 + 4x
c) y = x2 – x + ¼ d) y = x2 + x + 1
9- Sin resolverlas, indiquen el tipo de raíces de cada una de estas ecuaciones:
a) x2 – x + 2 = 0 b) y = x + 9x2 – 1 = 0 c) y = - 2 x2 – 6x
Forma factorizada de una función cuadrática
Se llama forma factorizada de una función cuadrática a la expresión:
y = a . (x –x1) . (x – x2)
Donde a es el coeficiente principal, es decir, el número que acompaña a x2 y x1 y x2 son sus raíces.
10- En cada caso halla la forma factorizada de la función cuadrática que cumple las
condiciones indicadas:
a) El coeficiente principal es 2, y sus raíces son 0 y -4
b) El coeficiente principal es 2/3 y su única raíz es 5.
c) Utiliza el programa GEOGEBRA para graficarlas. Guárdalas en una carpeta y envíalas para su corrección.
11- Decidí a cuales de los gráficos corresponde cada formula:
a) Y = - (x – 1)(x + 1) b) y = (x – 1)( x + 1)
c) y = – (x – 1)2 d) y = (x + 1)2
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Prueba integradora
Función cuadrática
Me pides todas las ecuaciones cuadráticas!!!
Actividad N°1
Resuelvan las
siguientes ecuaciones e indica cuantas raíces pueden tener :
Actividad N°2
En las siguientes
funciones cuadráticas:
a) Dar las
coordenadas del vértice
b) Escribe la forma canónica y grafica por desplazamientos
horizontales y verticales la función.
Actividad N°3
En las siguientes
funciones cuadráticas:
a) Encuentra las
coordenadas de los puntos de corte de la parábola con los ejes cartesianos.
b) Escribe en forma
factorizada la función y realiza el gráfico en un par de ejes cartesianos.
Actividad N°4
Escriba las
siguientes funciones en la forma más conveniente de acuerdo con los datos dados
y luego hallen las expresiones polinómicas de cada una. Grafica en
un par de ejes cartesianos para prácticar.
a) El vértice es V= ( -3, -2) y el coeficiente principal es -2
b) Las raíces son X1 = - 4 y X2 = 2 y el coeficiente principal
es -1.
c) El vértice es (
-5, 4) y el coeficiente principal es -3.
d)El vértice es (3, -2) y el coeficiente principal es 1/2
Actividad N°5
Expresen cada una de
las siguientes funciones en la forma en que se pide.
a) y = - x2 + 2x + 3, en forma canónica
es y = ..............
b) y = x2 -4x + 4, en forma factorizada es y =
................
